REFLEXÕES DE UM EDUCADOR

quinta-feira, 22 de dezembro de 2011

Tabuada: como usar a tabela pitagórica

Você já ouviu falar na tabuada pitagórica?
Talvez por esse nome não, mais a tabuada pitagórica quando montada conjuntamente com o aluno estabelece relações mentais fundamentais para o processo de entendimento da apropriação do conhecimento multiplicativo que a tabuada oferece.
A revista nova escola disponibilizou um vídeo para sua melhor reflexão.

Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com

quarta-feira, 14 de dezembro de 2011

Progressão Aritmética

O que é uma progressão aritmética?

É uma sequência numérica na qual cada número dessa sequência é um termo progressivo no qual o valor entre cada termo é sempre o mesmo.

Ex: ( 2, 4 , 6 , 8 , 10)

O número 2 é um termo da progressão , o mesmo ocorre com o 4, 6 , 8 e o 10.

O número dois por estar na primeira posição da sequência é o primeiro termo (A1) , o segundo termo da sequência é o 4 e assim por diante.

Algumas observações:
- Na progressão apresentada há 5 termos, logo o n= número de termos(quantidade de termos) é 5.
- O Último termo é o 10, logo, A5 = 10 e também o An= último termo também é 10.

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Vamos mais algumas definições:

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…

a n = a1 + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a1 + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
2

Vamos assistir um vídeo explicativo com a professora Andréa Mara.

Video 1 - Professora : Andréa Mara

Vídeo 2

Vídeo 3

Referência

www.mauriciomunhoz.blogspot.com

Progressão Aritmética - parte 1

quinta-feira, 8 de dezembro de 2011

Intervalo Numérico - União - Intersecção e Diferença de Conjuntos

Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

Referência
mauriciomunhoz.blogspot.com

quarta-feira, 7 de dezembro de 2011

Atividade envolvendo Regra de Três Simples e Composta.

1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas , produz 600 peças. Quantas peças iguais serão produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas?
a) 1000
b) 1250
c) 1350;
d) 1500
e) 600

2) Para realizar um certo serviço, 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais às primeiras fariam o mesmo serviço?;
a) 25
b) 12
c) 14
d) 18
e) 30

Atividade 2 - Regra de Três Composta

1) 8 máquinas ,trabalhando 10 horas por dia, produzem 200 peças. Quantas peças iguais às primeiras seriam produzidas por 12 máquinas, trabalhando 9 horas por dia?
a) 270
b) 150
c) 145
d) 330
e)1800

;2) Numa tecelagem , 12 teares produzem 900 m de tecido em 6 dias. em quantos dias, 15 teares iguais aos primeiros produzirão 1500 m do mesmo tecido?
a) 10
b) 8
c) 12
d) 6
e) 15
- - - - - - - - - -
Respostas:
Atividade 1
1) c

2) d

Atividade 2
1) a

2) b

Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com

sexta-feira, 2 de dezembro de 2011

Material Complementar do Curso Técnico em Pesca - Aula 3 e 4

Vamos disponibilizar alguns vídeos selecionados com explicação dos contéudos desenvolvidos no módulo II - no curso Téc em Pesca.
Tutor: Maurício

Não esqueça , participe dos Fórum do curso, do chat, esse é um apoio fundamental para o desenvolvimento da aprendizagem .

1º vídeo: Regra de três simples (vídeo explicativo)
- Vídeo simples que diferencia regra de três direta da regra de três inversa.

2ºvídeo: Regra de três composta (vídeo explicativo)
São dois vídeos de regra de três composta , é importante assistir os dois vídeos para o entendimento do conteúdo.
parte 1

parte 2

Atividades:

1) Vamos resolver alguns exercícios contendo regra de três direta e inversa. Não se preocupe pois o site apresentará as respostas.
acesse o link para fazer os exercícios online
http://www.estudamos.com.br/regra_de_tres/regra_de_tres_simples_1.php

2) Material complementar com exercícios e explicação de conteúdo. Clique em Download e acesse o material e exercícios com regra de três simples e composta.

sexta-feira, 25 de novembro de 2011

União de Intervalos Reais - Vídeos - Aula 2

Vídeos Selecionados de exercícios com intervalos.

Pesquise sobre a incomensurabilidade e irracionais. Veja a resposta do questionamento acima, clique no link abaixo:
http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/incomensurabilidade.htm

Referência

mauriciomunhoz.blogspot.com

Conjuntos Numéricos - Aula 1

Conjunto dos númericos:

Vamos fazer um pequeno resumo dos conjuntos númericos, suas relações e possíveis aplicações.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais tem como representação a letra maiúscula N e estes são compostos pelos algarismos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.

Um pouco de História do conjunto dos números Naturais.

A origem dos números naturais advém dos processo de troca, a buscar de novas necessidade de sobrevivência trouxe ao homem antigo a possibilidade de adquirir , controlar seus bens e alimentos este processo criou a necessidade de contar , estabelecer critérios de contagem . Veja mais sobre a história.....http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

Vejamos a representação dos Números Naturais:

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Números Inteiros

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Z_- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais2.htm

Números Racionais

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.

Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

Outros subconjuntos de Q:

Q^* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;
Q₊ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;
Q_- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;
Q₊^* é o conjunto dos números racionais e positivos;
Q_-^* é o conjunto dos números racionais negativos.

fonte:http://www.somatematica.com.br/fundam/racionais2.php

Números Irracionais

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.

Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.

Constantes irracionais ou números transcendentais:

Números irracionais

Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:

Números irracionais obtidos pela radiciação

Estes são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592..

fonte:http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-irracionais.htm

Números Reais

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

Vejamos alguns vídeos que aplicam os conceitos acima tratados e outros para aprofundamentos.

Fonte: Site Vestibulândia

Referência

mauriciomunhoz.blogspot.com