Você já ouviu falar na tabuada pitagórica?
Talvez por esse nome não, mais a tabuada pitagórica quando montada conjuntamente com o aluno estabelece relações mentais fundamentais para o processo de entendimento da apropriação do conhecimento multiplicativo que a tabuada oferece.
A revista nova escola disponibilizou um vídeo para sua melhor reflexão.
Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com
quinta-feira, 22 de dezembro de 2011
sexta-feira, 16 de dezembro de 2011
quarta-feira, 14 de dezembro de 2011
Progressão Aritmética
O que é uma progressão aritmética?
É uma sequência numérica na qual cada número dessa sequência é um termo progressivo no qual o valor entre cada termo é sempre o mesmo.
Ex: ( 2, 4 , 6 , 8 , 10)
O número 2 é um termo da progressão , o mesmo ocorre com o 4, 6 , 8 e o 10.
O número dois por estar na primeira posição da sequência é o primeiro termo (A1) , o segundo termo da sequência é o 4 e assim por diante.
Algumas observações:
- Na progressão apresentada há 5 termos, logo o n= número de termos(quantidade de termos) é 5.
- O Último termo é o 10, logo, A5 = 10 e também o An= último termo também é 10.
----
Vamos mais algumas definições:
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
2
Vamos assistir um vídeo explicativo com a professora Andréa Mara.
Video 1 - Professora : Andréa Mara
Vídeo 2
Vídeo 3
Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com
É uma sequência numérica na qual cada número dessa sequência é um termo progressivo no qual o valor entre cada termo é sempre o mesmo.
Ex: ( 2, 4 , 6 , 8 , 10)
O número 2 é um termo da progressão , o mesmo ocorre com o 4, 6 , 8 e o 10.
O número dois por estar na primeira posição da sequência é o primeiro termo (A1) , o segundo termo da sequência é o 4 e assim por diante.
Algumas observações:
- Na progressão apresentada há 5 termos, logo o n= número de termos(quantidade de termos) é 5.
- O Último termo é o 10, logo, A5 = 10 e também o An= último termo também é 10.
----
Vamos mais algumas definições:
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
2
Vamos assistir um vídeo explicativo com a professora Andréa Mara.
Video 1 - Professora : Andréa Mara
Vídeo 2
Vídeo 3
Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com
Progressão Aritmética - parte 1
O que é uma progressão aritmética?
É uma sequência numérica na qual cada número dessa sequência é um termo progressivo no qual o valor entre cada termo é sempre o mesmo.
Ex: ( 2, 4 , 6 , 8 , 10)
O número 2 é um termo da progressão , o mesmo ocorre com o 4, 6 , 8 e o 10.
O número dois por estar na primeira posição da sequência é o primeiro termo (A1) , o segundo termo da sequência é o 4 e assim por diante.
Algumas observações:
- Na progressão apresentada há 5 termos, logo o n= número de termos(quantidade de termos) é 5.
- O Último termo é o 10, logo, A5 = 10 e também o An= último termo também é 10.
----
Vamos mais algumas definições:
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
2
Vamos assistir um vídeo explicativo com a professora Andréa Mara.
Referência:
mauriciomunhoz.blogspot.com
É uma sequência numérica na qual cada número dessa sequência é um termo progressivo no qual o valor entre cada termo é sempre o mesmo.
Ex: ( 2, 4 , 6 , 8 , 10)
O número 2 é um termo da progressão , o mesmo ocorre com o 4, 6 , 8 e o 10.
O número dois por estar na primeira posição da sequência é o primeiro termo (A1) , o segundo termo da sequência é o 4 e assim por diante.
Algumas observações:
- Na progressão apresentada há 5 termos, logo o n= número de termos(quantidade de termos) é 5.
- O Último termo é o 10, logo, A5 = 10 e também o An= último termo também é 10.
----
Vamos mais algumas definições:
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
2
Vamos assistir um vídeo explicativo com a professora Andréa Mara.
Referência:
mauriciomunhoz.blogspot.com
quinta-feira, 8 de dezembro de 2011
Intervalo Numérico - União - Intersecção e Diferença de Conjuntos
Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.
Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?
União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
Referência
mauriciomunhoz.blogspot.com
Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.
Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?
União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
Referência
mauriciomunhoz.blogspot.com
quarta-feira, 7 de dezembro de 2011
Atividade envolvendo Regra de Três Simples e Composta.
1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas , produz 600 peças. Quantas peças iguais serão produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas?
a) 1000
b) 1250
c) 1350;
d) 1500
e) 600
2) Para realizar um certo serviço, 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais às primeiras fariam o mesmo serviço?;
a) 25
b) 12
c) 14
d) 18
e) 30
Atividade 2 - Regra de Três Composta
1) 8 máquinas ,trabalhando 10 horas por dia, produzem 200 peças. Quantas peças iguais às primeiras seriam produzidas por 12 máquinas, trabalhando 9 horas por dia?
a) 270
b) 150
c) 145
d) 330
e)1800
;2) Numa tecelagem , 12 teares produzem 900 m de tecido em 6 dias. em quantos dias, 15 teares iguais aos primeiros produzirão 1500 m do mesmo tecido?
a) 10
b) 8
c) 12
d) 6
e) 15
- - - - - - - - - -
Respostas:
Atividade 1
1) c
2) d
Atividade 2
1) a
2) b
Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com
a) 1000
b) 1250
c) 1350;
d) 1500
e) 600
2) Para realizar um certo serviço, 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais às primeiras fariam o mesmo serviço?;
a) 25
b) 12
c) 14
d) 18
e) 30
Atividade 2 - Regra de Três Composta
1) 8 máquinas ,trabalhando 10 horas por dia, produzem 200 peças. Quantas peças iguais às primeiras seriam produzidas por 12 máquinas, trabalhando 9 horas por dia?
a) 270
b) 150
c) 145
d) 330
e)1800
;2) Numa tecelagem , 12 teares produzem 900 m de tecido em 6 dias. em quantos dias, 15 teares iguais aos primeiros produzirão 1500 m do mesmo tecido?
a) 10
b) 8
c) 12
d) 6
e) 15
- - - - - - - - - -
Respostas:
Atividade 1
1) c
2) d
Atividade 2
1) a
2) b
Referência
www.mauriciomunhoz.blogspot.com
sexta-feira, 2 de dezembro de 2011
Material Complementar do Curso Técnico em Pesca - Aula 3 e 4
Vamos disponibilizar alguns vídeos selecionados com explicação dos contéudos desenvolvidos no módulo II - no curso Téc em Pesca.
Tutor: Maurício
Não esqueça , participe dos Fórum do curso, do chat, esse é um apoio fundamental para o desenvolvimento da aprendizagem .
1º vídeo: Regra de três simples (vídeo explicativo)
- Vídeo simples que diferencia regra de três direta da regra de três inversa.
2ºvídeo: Regra de três composta (vídeo explicativo)
São dois vídeos de regra de três composta , é importante assistir os dois vídeos para o entendimento do conteúdo.
parte 1
parte 2
Atividades:
1) Vamos resolver alguns exercícios contendo regra de três direta e inversa. Não se preocupe pois o site apresentará as respostas.
acesse o link para fazer os exercícios online
http://www.estudamos.com.br/regra_de_tres/regra_de_tres_simples_1.php
2) Material complementar com exercícios e explicação de conteúdo. Clique em Download e acesse o material e exercícios com regra de três simples e composta.
Tutor: Maurício
Não esqueça , participe dos Fórum do curso, do chat, esse é um apoio fundamental para o desenvolvimento da aprendizagem .
1º vídeo: Regra de três simples (vídeo explicativo)
- Vídeo simples que diferencia regra de três direta da regra de três inversa.
2ºvídeo: Regra de três composta (vídeo explicativo)
São dois vídeos de regra de três composta , é importante assistir os dois vídeos para o entendimento do conteúdo.
parte 1
parte 2
Atividades:
1) Vamos resolver alguns exercícios contendo regra de três direta e inversa. Não se preocupe pois o site apresentará as respostas.
acesse o link para fazer os exercícios online
http://www.estudamos.com.br/regra_de_tres/regra_de_tres_simples_1.php
2) Material complementar com exercícios e explicação de conteúdo. Clique em Download e acesse o material e exercícios com regra de três simples e composta.
Assinar:
Postagens (Atom)